Study-Journal

时间数列分析

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第一节 时间数列概述

一、时间数列的概念、分析的意义和种类

（一）概念和分析的意义

1. 概念

某一统计指标的一系列数值按时间先后顺序排列起来而形成的数列

由于时间数列反映现象的的动态变化，因此也叫动态数列

二要素

• 现象所属的时间

• 不同时间上指标的数值

2. 分析的意义

• 从现象在不同时间上的量变过程中，认识其发展变化的方向、程度、趋势和规律，为进一步制定政策、规划和决策提供相应依据

• 解释各种现象不同的发展方向和规律，从而认识现象之间相互联系的程度及动态演变关系

• 利用时间数列对现象发展变化趋势与规律进行分析，从而可以进行动态预测

（二）种类

• 时期数列 – 时期指标排列形成

• 时点数列 – 时点指标排列形成

因此分别继承了时期时点指标原有的特性

1. 绝对数时间数列

又叫总量指标时间数列，一系列总量指标按时间先后顺序排列形成

• 绝对数时期数列具有可加性

• 绝对数时点数列不具有可加性

2. 相对数时间数列

一系列相对指标按时间先后顺序排列形成

• 两个时期数列对比形成

• 两个时点数列对比形成

• 由一个时期数列和一个时点数列对比形成

相对数时间数列的每个指标都是相对数，因此是不能直接相加的

3. 平均数时间数列

一系列平均指标按时间先后顺序排列形成

也表现为两个绝对数指标之比，因此同样有三种方式形成

• 两个时期数列对比形成

• 两个时点数列对比形成

• 由一个时期数列和一个时点数列对比形成

同样的，平均数时间数列的每个指标也不能直接相加（分母不同，加总没有意义）

后两者是在前者的基础上计算得来

二、时间数列的编制原则

• 时期长短应相等 – 但也有例外～如出于突出对比等原因

• 总体范围应统一

• 计算方法应统一

• 经济内容应相同

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第二节 时间数列水平分析指标

一、发展水平和序时平均数

序时平均数其实就是平均发展水平

（一）发展水平

时间数列中各具体时间条件下的数值，又称发展量

反映事物的发展变化在一定时期或时点上所达到的总规模或总水平

• 根据发展水平在时间数列中位置不同，可以分为

  最初水平、中间水平和最末水平

• 根据研究对象的不同，可以分为

  报告期水平，所研究时期的发展水平

  基期水平，作为研究比较基础的发展水平

（二）序时平均数

是时间数列中各发展水平加以平均而得到，也称动态平均数

反映现象在一段时间内发展变化所达到的一般水平

平均发展水平抽象的是现象在不同时间上的数量差异

静态平均数抽象的是总体各单位某一数量标志值在同一时间上的差异

因此平均发展水平是动态发展的一般趋势，平均数是静态的一般状况

（三）计算

1. 绝对数时间数列的平均发展水平

(1) 时期数列

若时期数列连续且间隔一致，采用算术平均数计算

\[\bar a = \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = \frac{\sum a}{n}\]

为了和平均数 $\bar X$ 区分，统一用 $\bar a$ 来表示

(2) 时点数列

I. 连续时点数列（每天/每期）

• 间隔相等 – 逐日登记，逐日排列

  \[\bar a = \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = \frac{\sum a}{n}\]

• 间隔不等 – 发生变动时才登记，非逐日

  \[\bar a = \frac{\sum af}{\sum f}\]

  • $a$：某一段时间对应的时点数据

  • $f$：时点数据对应的时间尺度

II. 间断时点数列（大于 1 天计算得到的）

前提：

• 数据均匀分布（$\frac{期初 + 期末}{2} = 平均水平$）

• 本期末 = 下期初

• 间隔相等 – 首尾折半

  \[\bar a = \frac{\frac{a_1+a_2}{2}+\frac{a_2+a_3}{2}+...+\frac{a_{n-1}+a_n}{2}}{n-1} = \frac{\frac{a_1}{2}+a_2+...+a_{n-1}+\frac{a_n}{2}}{n-1}\]

  年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012
  年底人数	98540	99710	101000	101500	102540	103496

  求每年平均人数

  年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012
  平均人数	—	$\frac{98540+99710}{2}$	$\frac{99710+101000}{2}$	$\frac{101000+101500}{2}$	$\frac{101500+102540}{2}$	$\frac{102540+103496}{2}$

  列式得

  \[\frac{\frac{98540+99710}{2}+\frac{99710+101000}{2}+\frac{101000+101500}{2}+\frac{101500+102540}{2}+\frac{102540+103496}{2}}{6 - 1}\]

  中间项合并，得到

  \[\frac{\frac{98540}{2}+99710+101000+101500+102540+\frac{103496}{2}}{6-1}\]

• 间隔不等 – 间隔加权

  推导过程类似于间隔相等间断时间数列和间隔不等连续时间数列的结合体

  \[\bar a = \frac{\frac{a_1+a_2}{2}f_1+\frac{a_2+a_3}{2}f_2+...+\frac{a_{n-1}+a_n}{2}f_{n-1}}{f_1+f_2+...+f_{n-1}}=\frac{\sum_1^{n-1} \frac{a_i+a_{i+1}}{2}f_i}{\sum_1^{n-1}f_i}\]

2. 相对数时间数列的平均发展水平

相对数本身是由两个指标对比得到 $c=\frac{a}{b}$

根据定义，相对数时间数列的平均发展水平就是两个指标的平均水平之比，即

\[\bar c = \frac{\bar a}{\bar b}\]

• 分子分母均为时期或连续时点总量

  \[\bar c = \frac{\bar a}{\bar b} = \frac{\frac{\sum a}{n}}{\frac{\sum b}{n}} = \frac{\sum a}{\sum b}\]

• 分子分母均为间隔相等的间断时点数列

  \[\bar c = \frac{\bar a}{\bar b} = \frac{\frac{a_1}{2}+a_2+...+a_{n-1}+\frac{a_n}{2}}{\frac{b_1}{2}+b_2+...+b_{n-1}+\frac{b_n}{2}}\]

• 分子分母均为间隔不等的间断时点数列

  \[\bar c = \frac{\frac{a_1+a_2}{2}f_1+\frac{a_2+a_3}{2}f_2+...+\frac{a_{n-1}+a_n}{2}f_{n-1}}{\frac{b_1+b_2}{2}f_1+\frac{b_2+b_3}{2}f_2+...+\frac{b_{n-1}+b_n}{2}f_{n-1}}\]

• 分子时期，分母时点（反之类似）

  \[\bar c = \frac{\bar a}{\bar b} = \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n}{\frac{b_1}{2}+b_2+...+b_n+\frac{b_{n+1}}{2}}\]

均是 $\bar c = \frac{\bar a}{\bar b}$ 根据绝对数的公式进一步推导而来

二、增长量与平均增长量

（一）增长量

时间数列中，不同时间的发展水平之差，也称绝对速度

\[增长量=报告期水平-基期水平\]

1. 逐期增长量

报告期与前一期水平之差

2. 累积增长量

报告期与某一固定其水平之差

二者关系

\[(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+...+(a_n-a_{n-1})=a_n-a_0\]

• 各相应时期逐期增长量之和等于累积增长量

\[(a_i-a_0)-(a_{i-1}-a_0)=a_i-a_{i-1}\]

• 两个相邻累积增长量之差等于逐期增长量

（二）平均增长量

逐期增长量的平均水平，用记号 $\Delta$ 表示

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第三节 时间数列速度分析指标

一、发展速度

反映社会经济发展程度的相对指标，定义为

\[发展速度=\frac{报告期水平}{基期水平}\]

根据选择基期的不同，发展速度分为两种（和逐期、累积类比）

（一）环比发展速度

也称逐期发展速度，说明相对于前一期水平的发展程度，用来反映社会经济现象短期的发展方向和发展程度

\[环比发展速度=\frac{报告期水平}{前一期水平}\]

符号表示为

\[\frac{a_1}{a_0},\frac{a_2}{a_1},\frac{a_3}{a_2},...,\frac{a_n}{a_{n-1}}\]

（二）定基发展速度

报告期与某一固定期水平（通常为最初或特定时期）之比，反映某一较长时期的发展方向和发展速度

\[定基发展速度=\frac{报告期水平}{固定基期水平}\]

符号表示为

\[\frac{a_1}{a_0},\frac{a_2}{a_0},\frac{a_3}{a_0},...,\frac{a_n}{a_{0}}\]

二者关系

\[\frac{a_1}{a_0}\times\frac{a_2}{a_1}\times\frac{a_3}{a_2}\times...\times\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_n}{a_0}\]

• 环比发展速度的连乘积等于定基发展速度

\[\frac{\frac{a_i}{a_0}}{\frac{a_{i-1}}{a_0}}=\frac{a_i}{a_0}\times\frac{a_0}{a_{i-1}}=\frac{a_i}{a_{i-1}}\]

• 两个相邻时期的定基发展速度之比等于相应时期的环比发展速度

二、增长速度

以相减相除结合计算的动态分析指标，同样分为环比增长速度和定基增长幅度

\[增长速度=\frac{增长量}{基期水平}=\frac{报告期水平-基期水平}{基期水平}=发展速度-1\]

通常用百分数表示

• 发展速度大于 100%：正值，表示增长程度

• 发展速度小于 100%：负值，表示降低程度

（二）环比增长速度

逐期增长量与前一期水平之比

\[环比增长速度=\frac{逐期增长量}{前一期水平}=\frac{报告期水平-前一期水平}{前一期水平}=环比发展速度-1\]

（二）定基增长速度

报告期累积增长量与某一固定基期水平（通常为最初）之比

\[定基增长速度=\frac{累积增长量}{固定基期水平}=\frac{报告期水平-固定基期水平}{固定基期水平}=定基发展速度-1\]

三、平均发展速度与平均增长速度

（一）平均发展速度

是各个时期环比发展速度的几何平均数，说明较长时期内速度变化的平均程度

计算方法有两种

1. 几何平均法（水平法）

\[\bar x=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot...\cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod x}\]

• $n$：环比发展速度的个数

由于定基发展速度等于各期环比发展速度连乘积，因此还可写作

\[\bar x=\sqrt[n]{\frac{a_1}{a_0}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot...\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}}=\sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}}=\sqrt[n]{R}\]

• $R$：这段时期的定基发展速度，也叫现象的总速度

2. 代数平均法（累计法）

\[\bar x+{\bar x}^2+{\bar x}^3+...+{\bar x}^n=\frac{\sum a_i}{a_0}\]

通过解这个高次方程的正根得到，因此也叫方程法

（二）平均增长速度

现象在某一时期内逐阶段平均增长变化的程度，唯一计算方法是

\[平均增长速度=平均发展速度-1（或100\%）\]

四、增长 1% 的绝对值

反映对于同样的增长速度，在不同时间条件下包含的绝对水平

\[增长 1\% 的绝对值=\frac{逐期增长量}{(发展速度-1)\times100}=\frac{逐期增长量}{增长速度}\div100=\frac{基期水平}{100}\]

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第四节 动态趋势分析