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综合指标

从此进入统计分析方法的学习

概念

综合指标分析法：用统计指标概括和分析现象总体数量特征和数量关系的方法

综合指标：用于反映现象总体的规模、数量对比关系和一般水平的综合性指标

分类

第一节 总量指标

一、总量指标的概念和作用

（一）概念

又称绝对指标或统计绝对数，一般用绝对数表示，是最基本的统计指标

统计收集整理阶段能得到的指标数据只有总量指标

因此，以外的三种指标也称作派生指标

一般情况下，总量指标的数值和研究范围同向变动，即变动研究范围一定会使总量指标数值同向跟随变化，这也是判断总量指标的重要依据之一

例外：利润不一定会和研究范围同向变动（存在负值）

但在单选题不作为仍然以同向变动为准这很现实

（二）作用

二、总量指标的种类

（一）按所反映的内容不同

对于一个确定的总体，总体单位总量只有一个，总体标志总量可以有多个

随着研究目的的变化，二者之间可以相互转化

研究某市工业企业经营状况

  • 总体单位总量：工业企业的数量

  • 总体标志总量

    • 所有工业企业职工人数之和

    • 产值之和

    • 利润之和等等

当研究目的发生变化，如改为研究某市工业企业职工素质情况

  • 总体单位总量：所有工业企业职工人数之和
（二）按所反映的总体时间状况不同 *重点
时期指标和时点指标的区别

注意：死亡人口数和出生人口数这类和人口数不同，属于时期指标

（三）按总量指标计量单位不同

第二节 相对指标

一、相对指标概述

（一）概念

也称统计相对数，表现为发展程度、结构、强度、普遍程度或比例关系等

把两个对比的具体数值概括化或抽象化，使人们对事物有一个清晰的概念

（二）作用
（三）表现形式

分子数值与分母数值相差很大时，可用倍数

成数是将对比的基数作为 10

百分数是将对比基数作为100，是相对指标中最常用的形式，分子分母数值接近时宜用

千分数是将对比基数作为 1000，使用于分子比分母小得多的情况

二、相对指标的种类和计算方法

（一）计划完成程度
1. 概念

是在某时期实际完成值和计划完成值对比的结果，一般用百分数表示

公式为

\[计划完成程度相对数=\frac{实际完成值}{计划完成值}\times 100\%\]

分子项数值减去分母项数值的差额表示执行计划的绝对效果

因为正指标和逆指标的存在，计划完成程度相对数大于 100% 并不一定代表超额完成

2. 计算
3. 作用
（二）结构相对数
1. 概念

在分组的接触上，总体区分为不同性质（即差异）的各部分，以部分数值与总体全部数值对比而得出的比重，来反映总体内部组成状况

公式为

\[结构相对数=\frac{总体部分数值}{总体全部数值}\times 100\%\]

一般而言，分子分母不可互换

2. 作用
（三）比例相对数
1. 概念

把同一总体中某部分数值与另一部分数值静态对比，用以反映总体范围内各个局部、各个分组之间的比例关系和协调平衡状态

公式为

\[比例相对数=\frac{总体中部分数值}{总体中另一部分数值}\]

常用百分数来表示，也可以用比较基数单位为1、100、1000时被比较单位数是多少的形式来表示，可以连比，但项数不能过多

2. 作用
（四）比较相对数
1. 概念

又叫类比相对数，将不同地区（单位）之间的同类指标数值作静态对比得到的综合指标，表明事物在不同空间条件下的差异程度或相对状态

$\frac{甲企业劳动生产率}{乙企业劳动生产率}\times100\%$

公式为

\[比较相对数=\frac{某条件下的某类指标数值}{另一条件下的同类指标数值}\times100\%\]

比较相对数的必须要有可比性才有存在意义

如比较两企业销售收入，必须选定生产性能相近产品，生产规模相当的样本，才能计算比较相对数

2. 作用
（五）强度相对数
1. 概念

同一地区（单位）两个性质不同但有联系的总量指标数值对比得到的综合指标

人均GDP、人口密度、劳动生产率

公式为

\[强度相对数=\frac{某一总量指标数值}{另一有联系而性质不同的总量指标数值}\]
6. 正逆指标

强度相对数的分子分母可以互换，通过互换分子分母得到的结果根据意义的不同分为正指标和拟指标两种

举例：某地商业网点密度

强度相对数的分子分母互换位置，会引起指标性质的改变

3. 作用
（六）动态相对数

同一现象在不同时期的两个数值进行动态对比得出的综合指标，表明现象在时间上发展变动的程度，通常用百分数或倍数表示，也称发展速度

本节唯一一个动态分析指标

公式为

\[动态相对数=\frac{报告期水平}{基期水平}\times100\%\]

$\frac{2025年利润}{2024年利润}\times100\%$

三、正确运用相对指标的原则

（一）可比性原则
（二）相对指标和总量指标结合运用的原则
（三）多种相对指标结合运用的原则

六种相对指标对比.png

第三节 平均指标

一、概念

（一）概念

也称统计平均数，用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平

把总体各单位的标志值的差异抽象化，代表总体的集中趋势，可以用来比较同类现象在不同单位的发展状况

同质性是计算平均指标的根本前提

（二）分类
1. 数值平均数

指标大小和数据大小息息相关，会明显受极端值影响

2. 位置平均数

指标大小和数据大小无关，只取决于数据在本数列中的位置，不受极端值影响

二、平均指标的特点及其作用

（一）特点
（二）作用

三、平均指标的计算

（一）算术平均数

分析社会经济现象一般水平和典型特征的最基本指标，是统计中计算平均指标最常用的方法，是总体标志总量除以总体单位数

1. 简单算术平均数

对应未分组数据

\[\bar X=\frac{X_1+X_2+...+X_N}{N}=\frac{\sum X}{N}\]
2. 加权算术平均数

对应分组数据

如果掌握的资料经分组整理编成了单项数列或组距数列，并且每组次数不同时，应采用加权算术平均数的方法计算算术平均数

\[\bar X=\frac{X_1f_1+X_2f_2+...+X_Nf_N}{f_1+f_2+...+f_N}=\frac{\sum Xf}{\sum f}\]

本质是以次数为权数计算算术平均，和加权平均数区分

特殊情况一：f 表现为比重时的公式推导

\[\bar X=\frac{\sum_1^N X_if_i}{\sum_1^N f_i}=\sum_1^N X_i\frac{f_i}{\sum_1^N f_i}=\sum X\frac{f}{\sum f}\]

本质是以频率为权数计算算术平均，仍然应用同样的理论

特殊情况二：组距变量数列

$X_i$ 取各组的组中值进行计算

如下表

月奖金额 工人人数
40以下 10
40～50 10
50～60 30
60～70 30
70～80 10
80以上 10
合计 100

前提条件：假设变量在各组中均匀分布

因此所求结果只是近似值

$\bar X=\frac{\sum Xf}{\sum f}=\frac{35\times10+45\times10+55\times30+65\times30+75\times10+85\times10}{100}$

注意事项

慎重选择权数

数学性质

（二）调和平均数
引入

油菜价格早中晚分别为 5 4 2 元/千克

两人分别以每次一斤和每次一元的方式购入油菜，分析两人所花的平均价格

又称倒数平均数了，是各个标志值倒数的算术平均数的倒数，一般用符号 $H$ 或 $\bar X_H$ 表示

1. 简单调和平均数

适用于各组标志总量相等时

\[\bar X_H=\frac{N}{\sum\frac{1}{X}}\]
2. 加权调和平均数

适用于各组标志总量不等时

各组标志总量常用符号 $M$ 表示，$M=Xf$

\[\bar X_H=\frac{\sum M}{\sum\frac{M}{X}}\]

不难看出，简单调和平均数是加权调和平均数 $\forall M_i=1$ 时的特殊形式

依然符合总体标志总量/总体单位总量的形式

3. 特点
4. 应用

应用例

由相对数计算平均数

计算平均数计划完成程度时，如果只有实际完成数而没有计划数据，就应该采用加权调和平均数计算

工作计划完成程度(%) 实际工作量(M)(万元)
80～90 50
90～100 420
100～110 180
110～120 60
合计 710

$\bar X_H=\frac{\sum M}{\sum\frac{M}{X}}=\frac{50+420+180+60}{\frac{50}{85\%}+\frac{420}{95\%}+\frac{180}{105\%}+\frac{60}{115\%}}$

由平均数计算平均数

求平均单价

市场 平均单价(X)(元/千克) 销售额(元)
甲 1.50 3000
乙 1.20 3500
丙 1.60 4500
合计 — 11000

$\bar X_H=\frac{\sum M}{\sum\frac{M}{X}}=\frac{3000+3500+4500}{\frac{3000}{1.5}+\frac{3500}{1.2}+\frac{4500}{1.6}}$

（三）几何平均数

是 $n$ 个标志值连乘积的 $n$ 次方根

常用于动态数据的分析，因此在金融领域十分常见

如计算平均比率、平均发展速度等，且是计算平均发展速度的唯一方法

\[\bar X_G=\sqrt[n]{\prod_{1}^{n}{X_i}}=\sqrt[n]{\prod X}\]

一位投资者持有一种股票，2014、2015、2016 年和 2017 年收益率分别为 4.5%、2.0%、3.5%、5.4%，计算这四年的平均收益率

(1) 假设 2013 股价是 a，则 2017 年股价是 $a\times104.5\%\times102\%\times103.5\%\times105.4\%$

(2) 设每年平均涨幅（即平均发展速度）是 $x=\frac{\sum x_i}{4}$，最终股价为 $a(1+x)^4$

联立 (1) (2)，消去 $a$ 移项，得出和几何平均数完全一致的公式

特点

加权几何平均数

\[\bar X_G=\sqrt[\sum f]{\prod X^f}\]

常用对数方法计算

\[\lg\bar X_G=\frac{\sum f\lg X}{\sum f}\]
（四）中位数和众数

位置平均，常见于数据偏斜极大的情况

1. 中位数

大小顺序排列后，位置在最中间的数值

特点

计算方法

资料未分组

资料分组

上下限公式推导

  • 设所在组下限是 $X_L$，上限是 $X_U$

  • 若中位数所在组以前累积的变量个数是 $S_{m-1}$，之后累积的个数是 $S_{m+1}$

  • 且该组有 $f_m$ 个变量

  • 中点位置和前后累计个数之差比上该组变量数目就是中位数在该组前后的距离占比

  • 距离占比分别乘组距 $i$ 得到的就是上下限得到的就是上下限到中位数的距离，进而结合上下限就可以求出中位数

下限公式

\[M_e=X_L+\frac{\frac{\sum f}{2}-S_{m-1}}{f_m}\times i\]

上限公式

\[M_e=X_U-\frac{\frac{\sum f}{2}-S_{m+1}}{f_m}\times i\]

本质是数学的差补法

2. 众数

整组数据出现次数最多的变量值

特点

计算方法

资料未分组 – 略

资料分组

比例插值法

下限公式

\[\frac{M_0-X_L}{i}=\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}\] \[M_0=X_L+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}\times i\]

上限公式

\[\frac{X_H-M_0}{i}=\frac{\Delta_2}{\Delta_1+\Delta_2}\] \[M_0=X_H-\frac{\Delta_2}{\Delta_1+\Delta_2}\times i\]

  • $\Delta_1$：所在组与前组次数之差

  • $\Delta_2$：所在组与后组次数之差

  • $X_H,X_L$：本组的上下限

  • $i$：组距

依然是数学的差补法

（五）相关统计指标的比较

在次数分布曲线上呈现

第四节 标志变异指标

一、标志变异指标的概念和作用

（一）概念
（二）作用

二、标志变异指标的测定

常用的有

（一）全距

又称极差，指总体各单位值中最大值与最小值的差距

\[R=X_{max}-X_{min}\]
（二）平均差

各单位标志值与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数

1. 特点
2. 计算方法

(1) 未分组

\[A.D.=\frac{\sum_1^N|X_i-\bar X|}{N}=\frac{\sum|X-\bar X|}{N}\]

(2) 分组

\[A.D.=\frac{\sum_1^N|X_i-\bar X|f_i}{\sum_1^N f_i}=\frac{\sum|X-\bar X|f}{\sum f}\]

数学中，绝对值符号一旦添加很难去除，因此平均差的应用十分受限

为此，引入了伟大的标准差唐突

（三）标准差

理念和作用同平均差一致，改进了计算方法

各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，又称均方差，通常用 $\sigma$ 和 $S.D.$ 表示

其平方即为方差，正对应了方差的符号 $\sigma^2$

1. 计算方法

(1) 未分组

\[S.D.=\sqrt{\frac{\sum_1^N(X_i-\bar X)^2}{N}}=\sqrt{\frac{\sum(X-\bar X)^2}{N}}\]

(2) 分组

等距变量数列标志值视为各组组中值

\[S.D.=\sqrt{\frac{\sum_1^N(X_i-\bar X)^2f_i}{\sum_1^N f_i}}=\sqrt{\frac{\sum(X-\bar X)^2f}{\sum f}}\]
2. 特点
（四）标志变异系数

用于消除计量单位不同以及平均水平高低不一对离散程度判断的影响

重点注意计量单位不同也只能用标志变异系数衡量

1. 平均差系数

一单位均值对应的平均差的大小

\[V_{A.D.}=\frac{A.D.}{\bar X}\times100\%\]

平均差用途受限，因此平均差系数也并不多见

2. 标准差系数

标志值离差的相对水平

\[V_\sigma=\frac{\sigma}{\bar X}\times100\%\]

$100\%$ 也可以不加，即非必须作为百分数存在