Study-Journal

货币的时间价值

公司金融一系列计算的基础

第一节终值和利率

一、终值计算

终值（Final Value）又叫未来值，指现在一笔资金在未来一段时间后所具有的价值

假设将 10000 元资金存入银行，银行利率为 3.5% ，一年或者两年后银行存款的价值为多少？

一般默认为复利而非单利，即利滚利

一年：$10000+10000\times3.5\%=10000\times(1+3.5\%)$

两年：$10000\times(1+3.5\%)+10000\times(1+3.5\%)\times3.5\%=10000\times(1+3.5\%)^2$

对于一个投资其为 $t$ 年，年利率为 $r$ ，初始投资本金为 $C_0$ 的投资，有

复利终值计算公式： $FV=C_0\times(1+r)^t$
单利终值计算公式： $FV=C_0\times(1+r\times t)$

此时 $C_0$ 即为现值（Present Value），固有现值终值的关系公式：

\[FV=PV(1+r)^t\]

二、多笔现金流量的终值

（一）两笔现金

某人 2 年后想买一台计算机，为此计划每年存一笔钱。

假设今年存入 5000 元，1 年后存入 7000 元，若银行存款利率为 3.5%，那么 2 年后此人可用于购买计算机的银行存款将为多少？

绘制现金流量图
- 时间分辨
  - 今年：第一年期初
  - 1 年后：第一年末
  - 2 年后：第二年末
得出 $FV=5000\times(1+3.5\%)^2+7000\times(1+3.5\%)$

（二）一系列现金

假设再推迟一年并在第 2 年末再次存入 3000 元，那么从现在开始 3 年后此人可以利用的存款有多少？

\[FV=5000\times(1+3.5\%)^3+7000\times(1+3.5\%)^2+3000\times(1+3.5\%)\]

每笔现金流量的终值之和就是多笔现金流的终值
复利呈现指数级增长，故低利率也可以达到可观效力~~只不过现实生活利率比这还要低得多~~

三、复利计算频率

（一）复利计息频率对终值的影响

复利计息频率会影响每年的实际利率（Effective Annual Rate）
以年为基础的名义利率会随着频率的增加越来越偏离实际利率

名义年利率 8%，每月按复利计息，那么

1 元投资到年末的价值为多少？

年投资收益率为多少？

实际年利率计算公式

\[EAR=(1+\frac{r}{m})^m-1\]

$r$ – 名义年利率
$m$ – 一年复利计息次数

若是连续复利计息，实际年利率计算公式应为
\[EAR=e^r-1\]
其中 $e$ 是一个常数，约为 $2.718$

（二）名义利率与实际利率的关系

计息周期为 1 年时，名义利率与实际利率相等
计息周期少于 1 年时，名义利率小于实际利率
名义利率越高，复利计息次数越多，二者的差异也就越大

复利计息频率对实际利率的影响.png

第二节现值

重点

一、现值和折现

一笔未来的现金流量，其价值往往小于今天等额的现金流量

基本事实

人们倾向于当前消费而不是未来消费

若希望人们未来消费，总会给予一定补偿

通货膨胀时期，货币价值随时间延续而降低

任何未来现金流量的不确定性（风险）都会减少现金流量的价值

（一）单一现金流量的现值计算

若年利率为 6% ，则

为了在一年后获取 106 元，现在必须投资多少？

未来在两年后获取 112.36 元，现在必须投资多少？

现值计算公式： $PV=\frac{FV}{(1+r)^t}=\frac{C_t}{(1+r)^t}$

（二）现值系数

$PV=C_t\times\frac{1}{(1+r)^t}$，其中 $\frac{1}{(1+r)^t}$ 即为现值系数

不同时间点的现金流量在比较和相加之前，必须转换为同一时点的现金流量，即不同时间的现金流不具备可加性

（三）折现率

未来现金流量换算为当前现金流量所使用的比率

计算未来现金流量现值的过程即被称为折现

折现率的计算公式：

\[r=(\frac{FV}{PV})^{\frac{1}{t}}-1\]

折现率体现了
- 当前的消费偏好（偏好越大，折现率越高）
- 预期的通货膨胀（通胀越高，折现率越高）
- 未来现金流量的不确定性（风险越高，折现率越高）
较高的折现率意味着未来现金流量的现值较低

（四）确定期数

使一笔钱增值到某个已知值所需要的时间

现有 10 万元的投资资金，若投资得到的年收益率为 6% ，需要多长时间才能得到 25 万元？

$\because 10\times(1+6\%)^\frac{1}{t}=25$

$\therefore t=\frac{\ln1.06}{\ln25}$

二、多笔现金流量的现值

计划买车，面临两个选择

一次性支付 15.5 万元

现在支付 8 万元，并在以后的 2 年内每年分别支付 4 万元

假设折现率为 8% ，应选择一次性付款还是分期付款？

$PV_1=15.5$

$PV_2=8+\frac{4}{1+0.08}+\frac{4}{(1+0.08)^2}$

一系列现金流量的现值就是每笔现金流量的现值之和

三、四类现金流量的计算

这四类公式的现值均为从现在开始一期以后发生的现金流量

（一）永续年金

优先股、永久性债券等

每期保持金额相等发生，且持续到永久的现金流量

没有终止的时间，因此没有终值

\[PV=\frac{C}{1+r}+\frac{C}{(1+r)^2}+\frac{C}{(1+r)^3}+L\]

为收敛的无穷等比数列，根据公式 $\frac{a}{1-q}$ 得出

\[PV=\frac{C}{r}\]

$C$ – 从现在开始一期后，即发生在第一期期末的现金流量
$r$ – 折现率

当每期的现金流不变时，永续年金的现值会随着利率的下降而增加，反之亦然

（二）永续增长年金

有规律地、按照相同比例增长的现金流量

\[PV=\frac{C}{1+r}+\frac{C\times(1+g)}{(1+r)^2}+\frac{C\times(1+g)^2}{(1+r)^3}+L\]

若 $q=\frac{1+g}{1+r}$ ，根据数学原理若希望 $PV$ 收敛，必须满足 $q<1$ ，即 $r>g$ 此时方可得出

\[PV=\frac{C}{r-g}\]

公司今年现金股利每股 0.5 元，预计以后支付的股利将以 2% 的速度增长，若折现率为 8% ，那么股利现值为多少？

$r=0.08$ ，$g=0.02$ ，满足 $r>g$

$C=C_0\times(1+g)=0.5\times1.02$

$\Delta PV=\frac{C}{r-g}=\frac{0.5\times1.02}{0.08-0.02}$

$PV=C_0+\Delta PV=0.5+\frac{0.5\times1.02}{0.08-0.02}$

（三）年金

某一确定的期间里，每隔一固定时期就发生的等额现金流量，可以发生在期末也可以发生在期初

不做特殊说明一般默认为发生在期末，发生在期初的被称为先付年金

1. 已知 $C$ 求 $PV$

\[PV=C[\frac{1}{r}-\frac{1}{r(1+r)^t}]\]

$[\frac{1}{r}-\frac{1}{r(1+r)^t}]$ 即为年金现值系数
其通分形式常见于会计财务计算 $C[\frac{(1+r)^t-1}{r(1+r)^t}]$
- 年金现值系数可以通过查询复利系数表得到，运算简化为 $PV=C(P/A, i, n)$
  - $A$ – 此公式中的年金 $C$
  - $i$ – 此公式中的折现率 $r$
  - $n$ – 此公式中的时间尺度 $t$

形如 $PV=C(P/A, i, n)$ 的此类公式下文还有很多，是特殊表达方式

$(P/A,i,n)$ 应当理解为 $Param_{P=f(A,i,n)}$

即，已知 $A,i,n$ 用 $A$ 求 $P$ 时 $A$ 应该乘的参数

这样就可以用 $A\times Param_{P=f(A,i,n)}$ 等价复杂运算 $C[\frac{(1+r)^t-1}{r(1+r)^t}]$

正是因此，该式含义是 $PV=C\times(P/A, i, n)$ 而非 $PV=C(a,b,c)$ 的函数定义式形式

下文出现的类似表达式均遵循以上规则

2. 已知 $PV$ 求 $C$

即上式移项变换得到

\[A=PV[\frac{r(1+r)^t}{(1+r)^t-1}]=PV[\frac{r}{1-\frac{1}{(1+r)^t}}]\] \[\Leftrightarrow PV(A/P, i, n)\]

3. 已知 $C$ 求 $FV$

根据 $FV=PV(1+r)^t$ 得出 $PV=\frac{FV}{(1+r)^t}$ ，代入 1.

\[FV=C[\frac{(1+r)^t-1}{r}]\] \[\Leftrightarrow C(F/A, i, n)\]

$[\frac{(1+r)^t-1}{r}]$ 即为年金终值系数，可以看出即为年金现值系数乘上 $(1+r)^t$ 得到，同样可以借助复利系数表简化计算
$FV$ 必须与最后一个 $C$ 在同一时间点

4. 已知 $FV$ 求 $C$

\[C=FV[\frac{r}{(1+r)^t-1}]\] \[\Leftrightarrow FV(A/F, i, n)\]

5. 递延年金

最初的现金流量不是发生在现在，而是 $m$ 期后的年金

\[PV=C[\frac{(1+r)^t-1}{r(1+r)^t}][\frac{1}{(1+r)^m}]\] \[\Leftrightarrow C(P/A, i, t)(P/F, i, m)\]

6. 先付年金

发生在某一固定时期每期期初会产生等额现金流量的年金

\[PV=C+C[\frac{(1+r)^t-1}{r(1+r)^t}]\] \[\Leftrightarrow C+C(P/A, i, n)\]

7. 特殊年金

支付期限超过一年、支付期限不固定、每期产生现金流量不相同等特殊情况下的年金

将每一期的现金流量分别折现在 0 期或者复利计算到终期，求和

（四）增长年金

在一定期间里以固定比率增长的现金流量

增长年金分析.png

因此现值计算可以视为两个永续增长年金的现值之差

\[PV=PV_1-PV_2=\frac{C}{r-g}-\frac{C(1+g)^t}{r-g} \times \frac{1}{(1+r)^t}\]

整理得

\[PV=C[\frac{1}{r-g}-\frac{1}{r-g} \times \frac{(1+g)^t}{(1+r)^t}]\]

$r=g$ 时，没有增长效益，公式无意义